题目内容

两个等差数列a_n的和b_n的前n项和分别为S_n和T_n，已知 $数学公式$ ，则使a_n=tb_n成立的正整数t的个数是 ________；

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分析：分别令 $\text{[math]}$ 等于1，2，3，4，利用等差数列的性质解得相应的t值，即可得到满足题意的正整数t的个数．
解答：当 $\text{[math]}$ =1即n=3时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，则a₂=b₂，此时t=1；
当 $\text{[math]}$ =2即n=5时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，则a₃=2b₃，此时t=2；
当 $\text{[math]}$ =3即n=9时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3，则a₅=3b₅，此时t=3；
当 $\text{[math]}$ =4即n=21时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，则a₁₁=4b₁₁，此时t=4．
当 $\text{[math]}$ ≥5时，解得的n不为正整数即t也不为正整数，所以满足题意的正整数t的个数是4
故答案为：4
点评：考查学生掌握等差数列的前n项和的公式，灵活运用等差数列的性质解决实际问题．