Question

如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（-

2

，0)，C(

2

，0)，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L
（1）求L的方程；
（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x₀，0），再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得Q(

2

2

，0)，从而说明存在点Q．

解答：解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．
∴|AB|-|AC|=|BD|-|CF|=|BE|-|CE|=|BO|+|OE|-（|OC|-|OE|）=2|OE|
I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|-|AC|=2
x²-y²=1（x＞1）
（2）设点Q（x₀，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

?

QM • QC

| QM | •| QC |

=

QN • QC

| QN | •| QC |

?cos＜

QM

，

QC

=cos＜

QN

，

QC

?∠MQC=∠NQC
（6分）
于是：①当MN⊥x，点Q（x₀，0）在x上任何一点处，都能够使得：
∠MQC=∠NQC成立，（8分）
②当MN不垂直x时，设直线MN：y=k(x-

2

)．
由

x2-y2=1 y=k(x- 2)

得：(1-k2)x2+2

2

k2x-(2k2+1)=0
则：x1+x2=

2 2 k2

k2-1

，x1x2=

2k2+1

k2-1

∴y1+y2=k(x1-

2

)+k(x2-

2

)=k(x1+x2)-2

2

k =

2 2 k

k2-1

∵tan∠MQC=kQM=

y1

x1-x0

，tan∠NQC=-kQN=-

y2

x2-x0

要使∠MQC=∠NQC成立，
只要tan∠MQC=tan∠NQC：

y1

x1-x0

=-

y2

x2-x0

?x₂y₁-x₀y₁+x₁y₂-x₀y₂=0
即(y1+y2)x0=x2•k(x1-

2

)+x1•k(x2-

2

)=2kx1x2-

2

k(x1+x2)=

2k

k2-1

∴

2 2 k

k2-1

•x0=

2k

k2-1

?x0=

2

2

∴当Q(

2

2

，0)时，能够使：

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

对任意的直线m成立．（15分）

点评：本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．