Question

记直线 x=π，y=π 与两个坐标轴所围成的区域内的点为（a，b），则函数f（x）=x²+2ax+π²-b²有零点的概率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  π

  4

  -

  1

  2

• C．

  π

  4

• D．1-

  π

  4

Answer 1

分析：根据函数f（x）=x²+2ax+π²-b²有零点，利用根的判别式算出a²+b²≥π²．由此作出如图所示直角坐标系，可得满足条件的点（a，b）在正方形内圆外的部分，即如图的阴影部分区域．由此利用面积计算公式和几何概型公式加以计算，可得所求的概率．

解答：解：若函数f（x）=x²+2ax+π²-b²有零点，
则△=（2a）²-4（π²-b²）≥0，即a²+b²≥π²．
在坐标轴上将a，b的取值范围标出，如图所示
当a、b满足函数有零点时，点（a，b）位于正方形OABC内且在圆外的部分，即如图的阴影部分区域．
∵正方形OABC面积为S₁=π²，扇形OAC面积为S₂=

1

4

π•OA2=

π3

4

，
∴阴影部分面积为S=S₁-S₂=π²（1-

π

4

），
因此可得函数f（x）=x²+2ax+π²-b²有零点的概率为：
P=

S

S1

=

π2(1- π 4 )

π2

=1-

π

4

．
故选：D

点评：本题给出二次函数有零点，求相应的概率，着重考查了一元二次方程根与系数的关系、面积计算公式和几何概型的计算等知识，属于中档题．