Question

函数f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f(x)=2f(

x

2

)，且f（1）=1，在每一个区间(

1

2i

 ， 

1

2i-1

]（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分，记直线x=

1

2n

，x=

1

2n-1

，x轴及函数y=f（x）的图象围成的梯形面积为a_n（n=1，2，3，…），则数列{a_n}的通项公式为

an=

4-k

22n+1

．

Answer 1

分析：先根据f（0）=2f（0），求出f（0）及f（1）的值，归纳总结得f（

1

2i

）=

1

2i

，然后当

1

2i

＜x≤

1

2i-1

时 f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)，ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，)所以{a_n}是首项为

1

2

(1-

k

4

)，公比为

1

4

的等比数列，从而求出a_n．

解答：解：由f（0）=2f（0），得f（0）=0
由 f(1)=2f(

1

2

)及f（1）=1，得 f(

1

2

)=

1

2

f(1)=

1

2

同理，f(

1

4

)=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

归纳得 f(

1

2i

)=

1

2i

(i=1，2，)
当

1

2i

＜x≤

1

2i-1

时 f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，)
所以{a_n}是首项为

1

2

(1-

k

4

)，公比为

1

4

的等比数列
∴an=

4-k

22n+1

故答案为：an=

4-k

22n+1

点评：本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题，有一定的难度．