Question

若关于x的方程4^x+(a+3)·2^x+5=0至少有一个实根在区间［1,2］内，则实数a的取值范围为__________.

Answer 1

解析：设2^x=t，由题意得t²+(a+3)t+5=0.

∴a=-t-3.

当x∈［1,2］时，2≤t≤4，

设f(t)=-t-3,2≤t≤4，

可以证明当2≤t≤时，f(t)=-t-3是增函数，此时f(2)≤f(t)≤f()，即≤f(t)≤-3；

可以证明当＜t≤4时，f(t)=-t-3是减函数，此时f(4)≤f(t)＜f(5)，即≤f(t)＜-3.

综上所得，函数f(t)=-t-3(2≤t≤4)的值域是［,-3］，

即实数a的取值范围为［,-3］.

答案：［,-3］.