Question

若关于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由x∈[1，2]，可得t=2^x∈[2，4]，关于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，等价于t²+（a+3）t+5=0至少有一个实根在区间[2，4]内，设f（t）=t²+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一个零点，根据函数的零点与方程的根的关系可求

解答：解：∵x∈[1，2]，令t=2^x∈[2，4]
关于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内
则可得，t²+（a+3）t+5=0（*）至少有一个实根在区间[2，4]内
设f（t）=t²+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一个零点
△=（a+3）²-20
（1）若（*）只有一个根，则△=（a+3）²-20=0可得a=-3±2

5

当a=-3+2

5

时，方程的根t=-

5

∉[2，4]舍去
当a=-3-2

5

时，方程的根t=

5

∈[2，4]满足条件
（2）若（*）有两个跟，不妨设为t₁＜t₂，，则△=（a+3）²-20＞0，可得a＞=-3+2

5

或a＜-3-2

5

①若两根t₁，t₂∈[2，4]，则

2＜- a+3 2 ＜4 f(2)=2a+15≥0 f(4)=4a+33≥0

解可得，-

15

2

≤a≤-7，又a＞=-3+2

5

或a＜-3-2

5

从而有-

15

2

≤a＜-3-2

5

满足条件
②若t₁∈[2，4]，t₂∉[2，4]，则

- a+3 2 ≥4 f(2)=2a+15≥0 f(4)=4a+33≤0

，解可得，a不存在
③若t₁∉[2，4]，t₂∈[1，4]，则

- a+3 2 ≤2 f(2)=2a+15≤0 f(4)=4a+33≥0

，解可得，a不存在
综上可得，-

15

2

≤a≤-3-2

5

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，二次函数在闭区间上的根的存在的情况，解题的关键是根据题意熟练应用二次函数的性质，体现了数形结合思想及分类讨论的思想在解题中的应用．