Question

已知双曲线x²-=1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦.

Answer 1

思路分析：本题考查双曲线及双曲线与直线的交点问题.经过某点的直线我们可以用直线方程表示，然后将直线方程与双曲线方程联立起来，根据题给条件进行变换即可.

解：（1）设过点P(1，2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1)，

代入双曲线方程并整理得(2-k²)x²+(2k²-4k)x-(k²-4k+6)=0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂),则有x₁+x₂=，

由已知-1，=2,解得k=1.

又k=1时，Δ=(2k²-4k)²+4(2-k²)(k²-4k+6)=16＞0，从而直线AB的方程为x-y+1=0.

(2)证明：设过Q(1，1)点的直线方程为y-1=k(x-1)，

代入双曲线方程并整理，得(2-k²)x²-2k(1-k)x-(k²-2k+3)=0，

由题知=2，解得k=2，

而当k=2时，Δ=［-2k(1-k)］²+4(2-k²)(k²-2k+3)=-62＜0，∴这样的直线不存在.