Question

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）为奇函数，且当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，则f（x）表达式为

f（x）=x²+3x+3或f（x）=x2-2

2

x+3．

．

Answer 1

分析：设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），可表示出f（x）+g（x），根据f（x）+g（x）为奇函数及奇函数的定义可得关于a，c的方程组，从而可求a，c，然后根据f（x）的对称轴在区间[-1，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，求出f（x）的最小值，令其为1，可求得b值．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
则f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
又f（x）+g（x）为奇函数，
∴（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3对任意x∈R恒成立，
∴

a-1=-(a-1) c-3=-c+3

，解得：

a=1 c=3

，
∴f（x）=x²+bx+3，其对称轴为x=-

b

2

，
①当-

b

2

＜-1时，即b＞2时，f（x）_min=f（-1）=4-b=1，解得b=3； 
②当-1≤-

b

2

≤2时，即-4≤b≤2时，f(x)min=f(-

b

2

)=

b2

4

-

b2

2

+3=1，
解得：b=-2

2

或b=2

2

（舍）；
③当-

b

2

＞2时，即b＜-4时，f（x）_min=f（2）=7+2b=1，解得b=-3（舍），
综上知，f（x）=x²+3x+3或f（x）=x2-2

2

x+3．

点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查奇函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已知函数类型求函数解析式常用待定系数法．