Question

已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足|PA|+|PB|=2

3

，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；  
（Ⅱ）直线y=kx+1与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵|PA|+|PB|=2

3

＞|AB|=2
∴由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为2

3

的椭圆．
∴c=1，a=

3

，b²=2．
∴W的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．          
（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），C，D中点为N（x₀，y₀）．
由

y=kx+1 x2 3 + y2 2 =1

得 （3k²+2）x²+6kx-3=0．
∵△=36k²+12（3k²+2）＞0
∴x1+x2=-

6k

3k2+2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

3k

3k2+2

，从而y0=kx0+1=

2

3k2+2

．
∴线段CD的中垂线的方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
即y-

2

3k2+2

=-

1

k

（x+

3k

3k2+2

）
令y=0，得x=--

k

3k2+2

∵存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|
∴m=-

k

3k2+2

当k=0时，m=0
当k＞0时，m=-

k

3k2+2

=-

1

3k+ 2 k

≥-

1

2 3k× 2 k

=-

6

12

即m∈[-

6

12

，0)
当k＜0时，m=-

k

3k2+2

=-

1

3k+ 2 k

≤

1

2 -3k× 2 -k

=

6

12

即m∈(0，

6

12

]

∴m∈[-

6

12

，0)∪(0，

6

12

]∪{0}=[-

6

12

，

6

12

]．
故所求m的取范围是[-

6

12

，

6

12

]．