Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线AB与圆x²+y²=2相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）由B在右准线x=

a2

c

上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点可求得2c=

a2

c

，从而可求得其斜率；
（2）由（1）可知a=

2

c，b=c，从而可设AB的方程为y=x-c，利用圆心O（0，0）点到直线y=x-c间的距离等于半径2即可求得c，从而使问题得到解决．

解答：解 （1）因为B在右准线x=

a2

c

上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点，
所以2c=

a2

c

，…（2分）
即

c2

a2

=

1

2

，所以椭圆的离心率e=

2

2

．         …（4分）
（2）由（1）知a=

2

c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，即x-y-c=0，…（6分）
因为直线AB与圆x²+y²=2相切，所以

|c|

2

=

2

，…（8分）
解得c=2．所以a=2

2

，b=2．
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．           …（10分）

点评：本题考查椭圆的简单性质与椭圆的标准方程，考查化归思想与方程思想，求得椭圆的离心率是关键，属于中档题．