Question

设|z₁|=5，|z₂|=2，|z₁-|=，求=________．

Answer 1

2±i
分析：设 z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），求得 、 以及z₁-，再根据条件求得cos（α+β）的值，
可得 sin（α+β）的值，再利用复数三角形式的运算法则求得的值．
解答：由题意得，可设 z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），=5[cosα-isinα]=5[cos（-α）+isin（-α）]，
=2（cosβ-isinβ）=2[cos（-β）+isin（-β）]，z₁-=（5cosα-2cosβ）+i（5sinα+2sinβ）．
再由|z₁-|=，可得（5cosα-2cosβ）²+（5sinα+2sinβ）²=13，化简可得 cos（α+β）=．
再由同角三角函数的基本关系可得 sin（α+β）=±．
故 ==×[cos（-α-β）+isin（-α-β）]=×[cos（α+β）-isin（α+β）]
=×[±i]=2±i
故答案为：2±i．
点评：本题考查复数的模的定义，复数三角形式的运算法则应用，求出 cos（α+β）=、sin（α+β）=±，是解题的关键，
属于基础题．