Question

已知函数且
（Ⅰ）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点

试题分析：解法一：（Ⅰ）依题意，得
由得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故
令，则或
①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：

	+	—	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二：
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
由得
解得

所以线段与曲线有异于的公共点。
点评：本题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识．导数题目是高考的必考题，且常考常新，但是无论如何少不了对基础知识的考查，因此备考中要强化基础题的训练．