题目内容

已知向量 $数学公式$
（1）用x的式子表示； $数学公式$ 及 $数学公式$ ；
（2）求函数 $数学公式$ 的值域；
（3）设 $数学公式$ ，若关于x的方程g（x）+2=0有两不同解，求t的取值范围？．

解：（1） $\text{[math]}$ =cos2x
∵ $\text{[math]}$ =2（1+cos2x）=4cos²x
∴ $\text{[math]}$ x $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ =cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9
∵ $\text{[math]}$ ∴cosx∈[0，1]∴f（x）∈[-7，-1]
（3）∵g（x）+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos²x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ²+2tμ+1
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）由向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式可求 $\text{[math]}$ ；根据平面向量的数量积的性质可知，要求 $\text{[math]}$
，只要先求 $\text{[math]}$ ，根据向量的运算可求
（2）由 $\text{[math]}$ =cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9结合 $\text{[math]}$ 可得cosx∈[0，1]从而可求f（x）
（3）g（x）+2=0?cos2x+2tcosx+2=0?2cos²x+2tcosx+1=0有两不同解，
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ²+2tμ+1在[0，1）上有两不同解
结合方程的实根分布可得 $\text{[math]}$ 解不等式可得
点评：平面向量与三角函数结合的试题一般是利用平面向量为工具，转化为三角函数的形式，利用三角的知识求解函数的最值（或值域），而以三角形式出现的二次函数要在求最值时要注意范围的限制条件