题目内容
已知向量| a |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）用x的式子表示；
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求函数f(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）设g(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式可求
•
；根据平面向量的数量积 的性质可知，要求|
+
|
，只要先求|
+
|2，根据向量的运算可求
（2）由f(x)=
•
-4|
+
|=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9结合x∈[0，
] 可得cosx∈[0，1]从而可求f（x）
（3）g（x）+2=0?cos2x+2tcosx+2=0?2cos2x+2tcosx+1=0有两不同解，
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ2+2tμ+1在[0，1）上有两不同解
结合方程的实根分布可得
解不等式可得
| a |
| b |
| a |
| b |
，只要先求|
| a |
| b |
（2）由f(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（3）g（x）+2=0?cos2x+2tcosx+2=0?2cos2x+2tcosx+1=0有两不同解，
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ2+2tμ+1在[0，1）上有两不同解
结合方程的实根分布可得
|
解答：解：（1）
•
=cos
cos
-sin
sin
=cos2x
∵|
+
|2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos2x
∴|
+
|=2cosx x∈[0，
]
（2）∵f(x)=
•
-4|
+
|=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9
∵x∈[0，
]∴cosx∈[0，1]∴f（x）∈[-7，-1]
（3）∵g（x）+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos2x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ2+2tμ+1
∴
∴t∈[-
，-
)
| a |
| b |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
∵|
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（2）∵f(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
（3）∵g（x）+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos2x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ2+2tμ+1
∴
|
∴t∈[-
| 3 |
| 2 |
| 2 |
点评：平面向量与三角函数结合的试题一般是利用平面向量为工具，转化为三角函数的 形式，利用三角的知识求解函数的最值（或值域），而以三角形式出现的二次函数要在求最值时要注意范围的限制条件
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