Question

设f(x)＝ax³＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)

即－ax³－bx＋c＝－ax³－bx－c，∴c＝0.

又f′(x)＝3ax²＋b的最小值为－12，∴b＝－12.

由题设知f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2，

故f(x)＝2x³－12x.

(2)  f′(x)＝6x²－12＝6(x＋)(x－)

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况表如下：

x	(－∞，－)	－	(－，)		(，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值