Question

如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=

2

2

，一条准线的方程是x=2

2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，
问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2

10

的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由题意得

a2-b2

a

=

2

2

，

a2

c

=

a2

a2-b2

=2

2

，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）． 由向量间的关系得到 x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，据
M、N是椭圆上的点可得 x²+2y²=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．再根据直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，得到点P是椭圆
x²+2y²=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（

10

，0），满足条件．

解答：解：（Ⅰ） 由题意得

a2-b2

a

=

2

2

，

a2

c

=

a2

a2-b2

=2

2

，∴a=2，b=

2

，
故椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）．∵动点P满足：

OP

=

OM

+2

ON

，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂  ），∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+2y₁²-4=0，x₂²+2y₂²-4=0．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．
∵直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，∴x²+2y²=20，
故点P是椭圆 

x2

20

+

y2

10

=1 上的点，焦点F（

10

，0），准线l：x=2

10

，离心率为

2

2

，
根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2

10

的距离之比为定值

2

2

，
故存在点F（

10

，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2

10

的距离之比为定值．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，两个向量坐标形式的运算，以及椭圆的第二定义，属于中档题．