Question

如图，在直三棱柱中，平面侧面

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若，直线与平面所成的角为，二面角的大小为，求证：

Answer 1

(Ⅰ)证明：如下图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，

则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的颊角，即＝，∠ABA₁=

      于是在中，,

在中，，

      ∴,由于与∠AA₁D都是锐角，所以

      又由知， ，故   

 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c  (c＜a)，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，,



设平面A₁BC的一个法向量为,

则由,得

可取n＝（0，－a，c），于是

，与n的夹角为锐角,则与互为余角

，

，

所以,又，所以