Question

如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA₁=

2

，M为A₁B₁的中点，则AM与平面AA₁C₁C所成角的正切值为

 

．

Answer 1

分析：以C₁点坐标原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分另求出直线AM的方向向量与平面AA₁C₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出AM与平面AA₁C₁C所成角的正切值．

解答：解：以C₁点坐标原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA₁=

2

，M为A₁B₁的中点，
∴

AM

=（-

1

2

，

1

2

，-

2

），

BC

=（0，-1，0）为平面AA₁C₁C的一个法向量
设AM与平面AA₁C₁C所成角为θ，
则sinθ=|

AM • BC

| AM |•| BC |

|=

10

10

则tanθ=

1

3

故答案为：

1

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．