Question

【题目】设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对所有的≥1，都有≤，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）先对函数求导，再对的取值范围进行讨论，即可得的单调性；（Ⅱ）设，先对函数求导，再对的取值范围进行讨论函数的单调性，进而可得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，2分

当时，，当时，3分

所以函数在上单调递减，在单调递增. 5分

（Ⅱ）法一：设，则

因为≥1，所以7分

（ⅰ）当时，，，所以在单调递减，而，所以对所有的≥1，≤0，即≤；

（ⅱ）当时，，若，则，单调递增，而，所以当时，，即；

（ⅲ）当时，，，所以在单调递增，而，所以对所有的≥1，，即；

综上，的取值范围是12分

法二：当≥1时，≤ 6分

令，则7分

令，则，当≥1时，8分

于是在上为减函数，从而，因此， 9分

于是在上为减函数，所以当时有最大值， 11分

故，即的取值范围是. 12分