Question

【题目】已知函数的定义域为，对任意实数，都有．

（1）求的值并判断函数的奇偶性；

（2）已知函数，

①验证函数是否满足题干中的条件，即验证对任意实数，是否成立；

②若函数，其中，讨论函数的零点个数情况．

Answer 1

【答案】(1)函数为奇函数

（2）当时，函数的零点个数为1个；

当时，函数的零点个数为3个；

当时，函数的零点个数为5个；

【解析】

（１）取，代入即可的值，以代，代入可得函数为奇函数；（2）①令，说明，结合对数运算，验证即可；②由可得，令可得，作出图像，分类讨论，即可求出零点的个数。

(1)令时，，则；

令，则，则函数为奇函数

（2）①令，由，

则，所以，则

由；

由；

则，故函数满足题干中的条件

②由，根据，

令

当时，，此时有1个零点；

当时，，，，此时有3个零点；

当时，，，，

当时，此时有5个零点；

当时，此时有3个零点；

综上：当时，函数的零点个数为1个；

当时，函数的零点个数为3个；

当时，函数的零点个数为5个；