Question

已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．记函数f（x）=（+）²十sin2x．
（I）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（II）求函数f （x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平面向量的坐标运算得（+）²=1+2cos²x，再结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，得到f（x）=2sin（2x+）+2，最后根据正弦函数最值的结论，可得f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（2）根据（1）化简得的表达式，列出不等式-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），解此不等式再将它变成区间，即可得到
函数f （x）的单调递增区间．
解答：解：（1）∵=（cosx，0），=（0，sinx）
∴+=（cosx，sinx），得（+）²=3cos²x+sin²x=1+2cos²x
f（x）=（+）²十sin2x=1+2cos²x+sin2x
=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+）+2
∴当2x+=-+2kπ（k∈Z），即x=-+kπ（k∈Z）时，f（x）有最小值为0；
（2）令-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），
得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）
∴函数f （x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，其中k∈Z．
点评：本题以向量为载体，求三角函数的最值并讨论单调区间，着重考查了平面向量的坐标运算、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．