Question

已知椭圆

x=4cosθ y=5sinθ

上两个相邻顶点为A、C，且B为椭圆上的动点，求三角形△ABC面积的最大值与最小值．

Answer 1

分析：先根据sin²θ+cos²θ=1消去参数t，然后根据椭圆的标准方程求出a、b、c，求出直线AC的方程，然后利用点到直线的距离公式求出三角形的高的最值，从而求出三角形△ABC面积的最大值与最小值．

解答：解：依题意，椭圆的参数方程为

x=4cosθ y=5sinθ

（θ∈R），
∴椭圆的标准方程为

y2

25

+

x2

16

=1
即焦点在y轴上，长轴长为10，短轴长为8
∴a=5，b=4，c=3
AC=

41

，直线AC的方程为5x+4y-20=0
点B到直线的距离为

|20cosθ+20sinθ-20|

41

=

20| 2 sin(θ+ π 4 )-1|

41

∴点B到直线的距离的最大值为

20( 2 +1)

41

，最小值为0
∴三角形△ABC面积的最大值为10（

2

+1），最小值为0

点评：本题主要考查了椭圆的参数方程转化成直角坐标方程，以及点到直线的距离公式等有关知识，考查了转化能力，属于中档题．