Question

【题目】设函数．

（1）若函数是R上的单调函数，求实数a的取值范围；

（2）设a＝， (， )， 是的导函数．①若对任意的x＞0， ＞0，求证：存在，使＜0；②若，求证： ＜．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析： 求导得，由单调性推出a的取值范围①得，求导，讨论和，代入得出结论②由函数单调递增得，证得，下面证明，即可得证

解析：（1）由题意， 对恒成立，

因为，所以对恒成立，

因为，所以，从而．

（2）①，所以．

若，则存在，使，不合题意，

所以．取，则．

此时．

所以存在，使．

②依题意，不妨设，令，则．

由（1）知函数单调递增，所以．

从而．

因为，所以，

所以．

所以．

下面证明，即证明，只要证明．

设，所以在恒成立．

所以在单调递减，故，从而得证．

所以， 即．