题目内容
向量
与
满足|
|=2，|
|=1，且夹角为60°，f(x)=(2x•
+7•
)•(
+x•
)，（x∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当f（x）=-15且2x+11≠0时，求向量2x•
+7•
与向量
+x•
的夹角．
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当f（x）=-15且2x+11≠0时，求向量2x•
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
分析：（1）由已知中量
与
满足|
|=2，|
|=1，且夹角为60°，我们可得|
|2=4，|
|2=1，
•
=1，代入f(x)=(2x•
+7•
)•(
+x•
)可得函数f（x）的解析式．
（2）由（1）中函数f（x）的解析式，根据f（x）=-15且2x+11≠0可得x=-2，求出向量2x•
+7•
与向量
+x•
的模，代入向量夹角公式，可得答案．
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
（2）由（1）中函数f（x）的解析式，根据f（x）=-15且2x+11≠0可得x=-2，求出向量2x•
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
解答：解：（1）∵|
|=2，|
|=1，且夹角为60°，
∴|
|2=4，|
|2=1，
•
=1
∴f(x)=(2x•
+7•
)•(
+x•
)
=2x•|
|2+7x•|
|2+(2x2+7)
•
=2x2+15x+7
（2）当f（x）=-15且2x+11≠0时
解得x=-2
则2x•
+7•
=-4
+7•
，
+x•
=
-2
∵|-4
+7•
|=
，|
-2
|=2
∴cosθ=
=
=-
θ=Л-arccos
| l1 |
| l2 |
∴|
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
∴f(x)=(2x•
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
=2x•|
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
=2x2+15x+7
（2）当f（x）=-15且2x+11≠0时
解得x=-2
则2x•
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
| l1 |
| l2 |
∵|-4
| l1 |
| l2 |
| 57 |
| l1 |
| l2 |
∴cosθ=
(-4
| ||||||||
|-4
|
| -15 | ||
|
5
| ||
| 38 |
θ=Л-arccos
5
| ||
| 38 |
点评：本题考查的知识点是向量的模，向量的数量积运算，是向量与二次方程的综合应用，难度适中．
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