题目内容

(1)已知数列{an},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;

(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.

   

思路分析：(1)如果数列{cn+1-pcn}为等比数列,则必有c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比数列.由此,可以求出p的值,然后证明所求p值符合题意.

(2)否定式的命题,常用反证法来证明,即假设数列{cn}是等比数列,然后设法推出矛盾.我们可以试着从几个特殊值c1,c2,c3来推出矛盾.

(1)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列,

    故有c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比数列,

    所以(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3),

    即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p).

    解得p=2或p=3.

    当p=2时,cn+1-pcn=(2n+1+3n+1)-2(2n+3n)=3n,符合题意;

    当p=3时,cn+1-pcn=(2n+1+3n+1)-3(2n+3n)=-2n,也符合题意;

∴p=2或p=3.

(2)证明:假设数列{an}是等比数列,

    设{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q,

    则c22=c1·c3,

    即(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2),

    得(p-q)2=0.

∴p=q,这与p≠q矛盾,故数列{cn}不是等比数列.

练习册系列答案
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(1)已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，写出该数列的前五项及它的通项公式．

　　(2)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+ (n≥2)写出该数列的前五项及它的通项公式．

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋1，写出该数列的前5项及它的一个通项公式．

(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，写出该数列前5项及它的一个通项公式．

已知数列{an}单调递增，且各项非负，对于正整数K，若任意的i，j(1≤i≤j≤K)，aj－ai仍是{an}中的项，则称数列{an}为“K项可减数列”．

(1)已知数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{an－2}是“K项可减数列”，试确定K的最大值；

(2)求证：若数列{an}是“K项可减数列”，则其前n项的和Sn＝an(n＝1，2，…，K)；

(3)已知{an}是各项非负的递增数列，写出(2)的逆命题，判断该逆命题的真假，

并说明理由．

 [番茄花园1] 

已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有

a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2

（Ⅰ）求a3，a5；

（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；

（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.

 

 

 

 [番茄花园1]1.

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