Question

（2013•东城区模拟）已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数f（x）极值；
（II）求导函数，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

令f'（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．
∵x＞0，∴x=-

1

2

舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0；无极小值．
（II）f′（x）=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

若a=0，f′（x）=

1

x

＞0，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）
若a≠0，令f′（x）=

-(2ax+1)(ax-1)

x

=0，∴x1=-

1

2a

，x2=

1

a

当a＞0时，函数在区间（0，

1

a

），f′（x）＞0，函数为增函数；在区间（

1

a

，+∞），f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为（0，

1

a

），函数的单调递减区间为（

1

a

，+∞）
当a＜0时，函数在区间（0，-

1

2a

），f′（x）＞0，函数为增函数；在区间（-

1

2a

，+∞），f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为（0，-

1

2a

），函数的单调递减区间为（-

1

2a

，+∞）．

点评：本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．