题目内容

(2013•东城区二模)对定义域的任意x,若有f(x)=-f(
1
x
)
的函数,我们称为满足“翻负”变换的函数,下列函数:
y=x-
1
x

②y=logax+1,
y=
x,0<x<1
0,x=1
-
1
x
,x>1

其中满足“翻负”变换的函数是
①③
①③
. (写出所有满足条件的函数的序号)
分析:利用“翻负”的定义逐个命题判断即可.
解答:解:①f(x)=x-
1
x
,则f(
1
x
)=
1
x
-x
=-(x-
1
x
)=-f(x),即f(x)=-f(
1
x
),
所以①y=x-
1
x
满足“翻负”变换;
②f(x)=logax+1,则-f(
1
x
)=-(loga
1
x
+1)=logax-1≠f(x),
所以y=logax+1不满足“翻负”变换;
③f(x)=
x,0<x<1
0,x=1
-
1
x
,x>1

当0<x<1时,
1
x
>1
,-f(
1
x
)=-(-x)=x=f(x);
当x=1时,
1
x
=1,-f(
1
x
)=-0=0=f(x);
当x>1时,0<
1
x
<1,-f(
1
x
)=-
1
x
=f(x),
所以f(x)=
x,0<x<1
0,x=1
-
1
x
,x>1
满足“翻负”变换,
故答案为:①③.
点评:本题考查学生对问题的阅读理解能力、解决问题的能力,属中档题.
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