Question

直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l₁：y＝x对称的直线l₂与x轴平行．

(1)求双曲线C的离心率；

(2)求双曲线C的方程．

Answer 1

解　

(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l₁：－＝0的倾斜角为α.

因为l和l₂关于l₁对称，记它们的交点为P.

而l₂与x轴平行，记l₂与y轴的交点为Q.

依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.

又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°.

所以tan30°＝＝.

于是e²＝＝1＋＝1＋＝.所以e＝.

(2)由＝，可设双曲线方程为－＝1，即x²－3y²＝3k².

将y＝(x－2)代入x²－3y²＝3k²，

得x²－3·3(x－2)²＝3k².

化简得8x²－36x＋36＋3k²＝0，则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

故所求双曲线C的方程为－y²＝1.