Question

已知函数f（x）=x³-3a|x-1|，
（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过举反例说明当a=1时，f（x）非奇非偶．
（2）利用绝对值的意义分段讨论去掉绝对值符号将f（x）转化为分段函数；分别通过导数求两段的最小值；比较两段的最小值，挑出最小值为f（x）d的最小值．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3|x-1|，（2分）
此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x³-3a（1-x）=x³+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x³-3a（x-1）=x³-3ax+3a
∴，（7分）
（i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x²+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]_min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，，
令f'（x）=0，可得两极值点或，
①若0＜a≤1，则，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]_min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则，可得f（x）在内单调递减，内单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值，
此时
而
可得1＜a≤9时，，a＞9时，（14分）
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]_min=f（0）=-3a，
当a＞9时，（15分）
点评：本题考查通过举反例说明一个命题不成立的方法、考查通过绝对值的意义去绝对值符号、考查分段函数的最值分段求，比较出各段的最值、考查利用导数求函数的最值、考查分类讨论的数学思想方法．