Question

已知函数f（x）=x³+bx²+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求解析式，只需把a，b，d三个字母求出即可．已知点P（0，2）满足f（x），得到d，又点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，可以得到f（-1）的值，并且得到f（x）在x=-1处的导数为6．
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，
∴f（x）=x³+bx²+ax+2，f'（x）=3x²+2bx+a．
∵点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0
∴f'（x）|_x=-1=3x²+2bx+a|_x=-1=3-2b+a=6①，
还可以得到，f（-1）=y=1，即点M（-1，1）满足f（x）方程，得到-1+b-a+2=1②
由①、②联立得b=a=-3
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-6x-3．，令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得x1=1-

2

，x2=1+

2

．当x＜1-

2

，或x＞1+

2

时，f′(x)＞0；
当1-

2

＜x＜1+

2

时，f′(x)＜0．
故f（x）的单调增区间为（-∞，1-

2

），（1+

2

，+∞）；单调减区间为（1-

2

，1+

2

）

点评：本题主要考查了两个知识点，一是导数的几何意义，二是利用导数研究函数的单调性，属于函数这一内容的基本知识，更应该熟练掌握．