Question

在数列中，，且前n项的算术平均数等于第n项的倍（）.
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

Answer 1

（1）；（2），证明过程详见解析.

试题分析：（1）根据条件中描述前项的算术平均数等于第项的倍，可以得到相应其数学表达式为，结合，分别取，
得，
；（2）根据（1）中所求，可以猜测，利用数学归纳法，假设当时，结论成立，则当时，根据（1）中得到的式子，令，可以求得，即当时，猜想也成立，从而得证.
（1）由已知，分别取，
得，
；
∴数列的前5项是：  6分；
（2）由（1）中的分析可以猜想  8分，
下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立  9分，
②假设当时猜想成立，
即  10分，
那么由已知，得，
即.∴，
即，又由归纳假设，得，
∴，即当时，猜想也成立.
综上①和②知，对一切，都有成立  13分．