Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，点(n，

sn

n

)（n∈N⁺）均在函数y=3x-2的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＞

m

20

对所有n∈N⁺都成立的最大正整数m．

Answer 1

分析：（I）先求出S_n，然后利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1代入求解，最后验证首项即可；
（II）先将通项裂项再进行求和，再求使得T_n＞

m

20

对所有n∈N⁺都成立的最大正整数m．

解答：解：（I）依题意得，

sn

n

=3n-2，即S_n=3n²-2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5；
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2×1=1=6×1-5．
所以a_n=6n-5（n∈N^*）．
（II）由（I）得b_n=

3

anan+1

=

3

(6n+5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)．
因此，要求使得T_n＞

m

20

对所有n∈N⁺都成立的最大正整数
即使得

1

2

(1-

1

6n+1

)＞

m

20

成立的m必须满足

m

20

＜

1

2

(1-

1

6n+1

)min
∴

m

20

＜

1

2

(1-

1

6+1

)
∴

m

20

＜

3

7

∴m＜

60

7

故满足要求的最大整数m为8．

点评：本题重点考查等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，同时考查了学生的计算能力、分析解决问题的能力，属于中档题．