Question

【题目】已知定义在上的函数且不恒为零，对满足，且在上单调递增．

（1）求，的值，并判断函数的奇偶性；

（2）求的解集．

Answer 1

【答案】（1）；；奇函数

（2）

【解析】

（1）令，求得或；令，，又求得（舍去），可求得，；令，，得，再令，得即可证得为奇函数.

（2）首先令，求得，再有（1）可得的周期为且，结合函数在的图像得 即可求解.

（1）由对于任意，满足，令，

则，所以或；

令，，则，上一步若，代入可得，

令，，因为在上单调递增，所以

所以，.

综上所述：；

令，则

令，，则

因为，，所以

代入式得，

显然不等于，所以，

所以为奇函数.

（2）由（1）可得

即函数的最小正周期为.

令，则 ，所以，

由（1）可得，

根据函数在的图像以及函数的周期性， 观察得

若，则

解得

故不等式的解集为