题目内容

抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一动点，A(0，
3
)，过M作MN垂直准线l，垂足为N，若|MN|+|MA|的最小值为2，则抛物线C的方程为
y2=4x
y2=4x
．
分析：由抛物线的定义知|MN|+|MA|的最小值是|AF|，由此利用两点间距离公式能够求出结果．
解答：解：如图，∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（
p
2
，0），
M是抛物线C上一动点，A(0，
3
)，过M作MN垂直准线l，垂足为N，
|MN|+|MA|的最小值为2，
∴|AF|=
(
p
2
-0)2+(0-
3
)2
=2，
解得p=2．
∴抛物线C的方程为y2=4x．
故答案为：y2=4x．
点评：本题考查抛物线的基本性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用．
练习册系列答案
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经过抛物线y2=2p（x+2p）（p＞0）的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程．
（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C1：y2=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 
（1）证明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C2过A、B两点，求曲线C1和C2的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C2的两焦点分别为F1、F2，线段AB上有两点C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F1 F2上是否存在一点P，使PD=
11
，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（2012•大连二模）已知圆C：(x-2p
)
2
 
+(y-2p
)
2
 
=
r
2
 
(r＞0，p＞0)过抛物线
y
2
 
=2px的焦点，则抛物线y2=2px的准线与圆C的位置关系是（　　）

已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l交C于E、F两点．

(1)求证：命题“若直线l过点A(2p，0)，则∠EOF＝90°(O为坐标原点)”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由；

(3)将点A(2p，0)向右或向左移动为点A(c，0)，直线l过点A交C于E、F两点．当c＞2p及0＜c＜2p时，分别猜测∠EOF大小的变化情况(只须写出结论，不必证明)．
经过抛物线y2=2p（x+2p）（p＞0）的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程．

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