Question

已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)，直线l交C于E、F两点．

(1)求证：命题“若直线l过点A(2p，0)，则∠EOF＝90°(O为坐标原点)”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由；

(3)将点A(2p，0)向右或向左移动为点A(c，0)，直线l过点A交C于E、F两点．当c＞2p及0＜c＜2p时，分别猜测∠EOF大小的变化情况(只须写出结论，不必证明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设直线的方程为，　　　　　　　　　　　　　　　　(1分) 　　将代入，得，即y2－2pty－4p2＝0．(3分) 　　设．∵，　　　　　(5分) 　　∴，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) 　　(2)逆命题：若，则若直线l过点．它是真命题．　　(8分) 　　证明：设直线l与x轴的交点为，方程为， 　　与联立，得． 　　设，∵， 　　∴． 　　∵，∴．即直线过定点．　　　　　　　　　　　(12分) 　　(3)当l过且时，为锐角； 　　当l过且时，为锐角．　　　　　　　　　　　　(16分)