Question

如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC=DC=1，∠BCD=90°，E，F分别是AC，AD上的动点，且EF∥平面BCD，二面角B-CD-A为60°．
（1）求证：EF⊥平面ABC；k*s*5*u
（2）若BE⊥AC，求直线BF与平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据线面平行的性质定理得到线与线平行，根据线面垂直得到线与线垂直，这两个条件得到要证的结论．
（2）要求线与面所成的角，EF为BF在面ACD上的射影，∠BFE为BF与平面ACD所成角的平面角，把角放到一个可解的三角形中，根据三角函数的定义得到结果．

解答：解：（1）证明：

EF∥平面BCD 平面ACD∩平面BCD=CD EF?平面ACD

?EF∥CD

AB⊥平面BCD ∴ AB⊥CD BC⊥CD BC∩AB=B

?CD⊥平面ABC
所以EF⊥平面ABC．
（2）由（1）可得EF⊥BE，

BE⊥EF BE⊥AC AC∩EF=E

?BE⊥平面ACD．
∴EF为BF在面ACD上的射影，∠BFE为BF与平面ACD所成角的平面角．
又∵CD⊥面ABC，所以二面角B-CD-A的平面角为∠ACB=60°
∵BC=CD=1， ∴ BE=

3

2

，CE=

1

2

，AB=

3

，AC=2
∵EF∥CD，∴

AE

AC

=

EF

CD

，
∴EF=

3

4

，BF=

21

4

，cos∠BFE=

EF

BF

=

21

7

即直线BF与平面ACD所成角的余弦值为

21

7

．

点评：本题考查直线与平面所成的角，直线与平面的位置关系，本题解题的关键是求角时包括三个环节，做出，证出和求出．