Question

12．设集合A={x∈R|x=a+b$\sqrt{2}$，a∈Z，b∈Z}，判断下列元素x与A的关系．
（1）x=0．
（2）x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$；
（3）x=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$；
（4）x=x₁+x₂（其中x₁∈A，x₂∈A）

Answer 1

分析 （1）x=0=0+0•$\sqrt{2}$∈A，
（2）x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=1+1•$\sqrt{2}$∈A，
（3）x=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$∉A，
（4）由题意知?a₁，b₁，a₂，b₂∈Z，使x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，从而求得．

解答 解：（1）x=0=0+0•$\sqrt{2}$∈A，
（2）x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=1+1•$\sqrt{2}$∈A，
（3）x=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$∉A，
（4）∵x₁∈A，x₂∈A，
∴?a₁，b₁，a₂，b₂∈Z，使x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，
∴x=x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$∈A；

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断，属于基础题．