Question

抛物线y²=2px的内接三角形有两边与抛物线x²=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x²=2qy相切．

Answer 1

分析：设p＞0，q＞0．又设y²=2px的内接三角形顶点为A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃），分别代入抛物线方程，依题意，设A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，要证A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切，由x²=2qy在原点O处的切线是y²=2px的对称轴，可知原点O不能是所设内接三角形的顶点推断三个顶点都不能是（0，0）；故可设直线A₁A₂的方程，进而得A₁A₂方程代入抛物线方程，整理后根据判别式等于0，求得2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0同理由于A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，A₂A₃也不能与Y轴平行，即x₂≠x₃，y₂≠-y₃，同样得到2p²q+y₂y₃（y₂+y₃）=0把y₂=-y₁-y₃代入2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0整理后可说明A₃A₁与抛物线x²=2qy的两个交点重合，进而可判断只要A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，则A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切．

解答：解：不失一般性，设p＞0，q＞0．又设y²=2px的内接三角形顶点为
A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）
因此y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，y₃²=2px₃
其中y₁≠y₂，y₂≠y₃，y₃≠y₁．
依题意，设A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，
要证A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切
因为x²=2qy在原点O处的切线是y²=2px的对称轴，
所以原点O不能是所设内接三角形的顶点
即（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
都不能是（0，0）；又因A₁A₂与x²=2qy相切，
所以A₁A₂不能与Y轴平行，即x₁≠x₂，y₁≠-y₂，
直线A₁A₂的方程是y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∵y₂²-y₁²=（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）．
∴A₁A₂方程是y=

2p

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

.
A₁A₂与抛物线x²=2qy交点的横坐标满足
x2-

4pq

y1+y2

x-

2qy1y2

y1+y2

=0，
由于A₁A₂与抛物线x²=2qy相切，上面二次方程的判别式
△=(-

4pq

y1+y2

)2+4(

2qy1y2

y1+y2

)=0．
化简得2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0（1）
同理由于A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，A₂A₃也不能与Y轴平行，即
x₂≠x₃，y₂≠-y₃，同样得到2p²q+y₂y₃（y₂+y₃）=0（2）
由（1）（2）两方程及y₂≠0，y₁≠y₃，得y₁+y₂+y₃=0．
由上式及y₂≠0，得y₃≠-y₁，也就是A₃A₁也不能与Y轴平行
今将y₂=-y₁-y₃代入（1）式得：2p²q+y₃y₁（y₃+y₁）=0（3）
（3）式说明A₃A₁与抛物线x²=2qy的两个交点重合，
即A₃A₁与抛物线x²=2qy相切
所以只要A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，
则A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切．

点评：本题主要考查抛物线的应用和直线与抛物线的关系．考查了学生综合分析问题和运算能力．