Question

9．以直角坐标系的原点O为极点，X轴的正半轴为极轴，建立坐标系，两个坐标系取相同的单位长度．已知直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsina\end{array}\right.$（t为参数，0＜a＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ
（1）求曲线C的直角坐标方程
（2）设直线L与曲线C相交于A，B两点，|AB|=8时，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）由直线L的参数方程得tanα=$\frac{y}{x-1}$，直线过（1，0），设l的方程为y=k（x-1），代入曲线C：y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用椭圆弦长公式能求出α的值．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，
∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
（2）∵直线L的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsina\end{array}\right.$（t为参数，0＜a＜π），
∴tanα=$\frac{y}{x-1}$，∴直线过（1，0），设l的方程为y=k（x-1），
代入曲线C：y²=4x，消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∵|AB|=8．∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）^{2}-4]}$=8，解得k=±1，
当k=1时，α=45°；当k=-1时，α=135°．
∴α的值为45°或135°．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线倾斜角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．