Question

【题目】如图，在四棱锥中, 底面为菱形，平面，点在棱上.

（Ⅰ）求证：直线平面；

（Ⅱ）若平面，求证：；

（Ⅲ）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；（２）借助线面平行的性质定理进行推证；（３）先假设存在，再借助线面的位置关系进行分析推证：

（Ⅰ）因为平面，所以,

因为底面是菱形，所以，

因为，

所以平面.

（Ⅱ）设与交点为，连接，

因为平面平面，平面，

所以，

又由是菱形可知为中点，

所以，在中，，

所以.

（Ⅲ）在中过点作 ，交于点，

因为平面，

所以平面.

由是菱形可知，

假设存在点满足，即，则

，

所以在中，，

所以.