Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．

（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）kAM∈（，0）（0，）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可求得直线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），M（x0，y0），可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出0，即可证明．

Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵e，∴a＝2，c，∴椭圆的方程为1，

设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得m，又∵A（﹣2，0），

∴直线AM的斜率kAM∈（，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，

∴kAM∈（，0）（0，），

（Ⅱ）由题意F（，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，

直线AM的方程为y（x+2），令x＝0，得点P的坐标为（0，），

∵kBM=kAQ，∴直线AQ的方程为y（x+2），

令x＝0，得点Q的坐标为（0，），由（，），（，），

∴20，∴⊥，即∠PFQ＝90°，

故∠PFQ为定值