Question

已知函数f（x）=tgx，x∈（0，

π

2

）．若x₁，x₂∈（0，

π

2

），且x₁≠x₂，
证明

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）

Answer 1

分析：欲证不等式的左边是

1

2

（tgx₁+tgx₂），将正切化成正余弦，通分后利用三角函数的和角公式和积化和差公式，结合三角函数的有界性进行放缩，最后利用半角公式即可证得．

解答：证明：tgx₁+tgx₂=

sinx1

cosx1

+

sinx2

cosx2

=

sinx1cosx2+cosx1sinx2

cosx1cosx2

=

sin(x1+x2)

cosx1cosx2

=

2sin(x1+x2)

cos(x1+x2)+cos(x1-x2)

∵x₁，x₂∈（0，

π

2

），x₁≠x₂，
∴2sin（x₁+x₂）＞0，cosx₁cosx₂＞0，且0＜cos（x₁-x₂）＜1，
从而有0＜cos（x₁+x₂）+cos（x₁-x₂）＜1+cos（x₁+x₂），
由此得tgx₁+tgx₂＞=

2sin(x1+x2)

1+cos(x1+x2)

，∴

1

2

（tgx₁+tgx₂）＞tg

x1+x2

2

，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）．

点评：本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．