Question

三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是

4

．

Answer 1

分析：设△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为6、4、3，建立关于PA、PB、PC的方程组并解之得PA=4，PB=3，PC=2，然后证出PA⊥平面PBC，即可用锥体体积公式求三棱锥的体积．

解答：解：设S_△PAB=6，S_△PAC=4，S_△PBC=3，
可得

1 2 PA•PB=6 1 2 PA•PC=4 1 2 PB•PC=3

，解之得PA=4，PB=3，PC=2
∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC，而PB、PC是平面PBC内的相交直线
∴PA⊥平面PBC
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

•S_△PBC•PA=

1

3

×

1

2

×3×2×4=4
故答案为：4

点评：本题给出三棱锥三条侧棱两两垂直，并在已知三个侧面面积的情况下求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定和锥体体积公式等知识，属于基础题．