Question

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S_△ABC，且，．
（1）求函数在区间[0，]上的值域；
（2）若a=3，且，求b．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得到•=0，根据两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，根据三角形的面积公式得到S_△ABC=bcsinA，代入得到的关系式中，化简后得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得出A的度数，将A的度数代入函数f（x）的解析式中，并利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，可得到此时正弦函数的值域，进而求出函数的值域；
（2）由sin（B+）的值，得到B+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（B+）的值，然后把B化为（B+）-，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入，求出sinB的值，再由sinA及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）∵，，
∴•=（b²+c²-a²）sinA-2S_△ABC=0，
又a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，且S_△ABC=bcsinA，
∴2bccosAsinA-2×bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，
∴cosA=，又A为三角形的内角，
∴A=，
函数=4cosxsin（x-）
4cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，
∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，
∴-≤sin（2x-）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
则f（x）的值域为[-2，1]；
（2）由sin（B+）=，得到＜B+＜π，
∴cos（B+）=-=-，
∴sinB=[（B+）-]
=sin（B+）cos-cos（B+）sin
=×+×=，
又a=3，sinA=，
∴由正弦定理=得：b==1+．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．