Question

已知p：方程

x2

m-1

+

y2

m+3

=1表示椭圆，q：方程x²+y²-4x+2my+m+6=0表示圆，若p真q假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由命题p为真命题，可得方程

x2

m-1

+

y2

m+3

=1中的两个分母均为正数且不相等，由此解出m＞1；若命题q为假命题，则x²+y²-4x+2my+m+6=0不能表示圆，将方程化为圆的标准方程并建立关于m的不等式，解出-1≤m≤2．最后根据p真q假，对以上求出的两个范围求交集，可得实数m的取值范围．

解答：解：若命题p为真命题，则方程

x2

m-1

+

y2

m+3

=1表示椭圆，
可得m+3＞m-1＞0，解之得m＞1；
若则命题q为假命题，方程x²+y²-4x+2my+m+6=0不能表示圆．
将方程x²+y²-4x+2my+m+6=0，化成标准方程得（x-2）²+（y+m）²=m²-m-2．
∴m²-m-2≤0，解之得-1≤m≤2．
又∵由题意得p真q假，
∴

m＞1 -1≤m≤2

，解得1＜m≤2，即实数m的取值范围为（1，2]．

点评：本题给出关于椭圆方程与圆方程的两个命题，在一真一假的情况下求参数m的范围．着重考查了椭圆的标准方程、圆的标准方程与命题真假的判断等知识，属于中档题．