Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一点P的坐标为（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用两点的距离公式，结合同角的平方关系和二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一点P的坐标为
（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），
即有|PA|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-2）^{2}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-4sinα+4}$
=$\sqrt{3co{s}^{2}α-4sinα+5}$=$\sqrt{-3si{n}^{2}α-4sinα+8}$
=$\sqrt{-3（sinα+\frac{2}{3}）^{2}+\frac{28}{3}}$，
当sinα=-$\frac{2}{3}$时，|PA|取得最大值，且为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的恒等变换以及二次函数的最值的求法，属于中档题．