Question

13．已知定义在R上的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+1，h（x）=lnx
①判断g（x）的单调性并说明理由；
②若g（s）=h（t），求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定义在R上的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数，求a，b的值；
（Ⅱ）①g（x）=f（x）+1，确定解析式，可得结论；
②确定0＜g（s）＜1，利用g（s）=h（t），求t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，满足f（-x）=-f（x）是奇函数．
（Ⅱ）①g（x）=f（x）+1=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+1=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=2^x+1单调递增，
∴g（x）在R上单调递减；
②∵2^s＞1，
∴2^s+1＞2，
∴0＜g（s）＜1，
∴0＜lnt＜1，
∴1＜t＜e．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．