Question

一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B，按照某种运算程序：
①当从A口输入自然数1时，从B口得到

1

3

，记为f(1)=

1

3

；
②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的

2(n-1)-1

2(n-1)+3

倍；
试问：当从A口分别输入自然数2，3，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想f（n）的关系式，并证明你的结论．

Answer 1

由已知得f(n)=

2n-3

2n+1

f(n-1)(n≥2，n∈N*)
当n=2时，f(2)=

4-3

4+1

×f(1)=

1

5

×

1

3

=

1

15

，
同理可得f(3)=

1

35

，f(4)=

1

63

---------------------（4分）
猜想f(n)=

1

(2n-1)(2n+1)

&(*)

-------------------（6分）
下面用数学归纳法证明（*）成立
①当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立------（8分）
②假设n=k（k≥4，k∈N^*）时，（*）成立，即f(k)=

1

(2k-1)(2k+1)

，
那么当n=k+1时，f(k+1)=

2k-1

2k+3

f(k)=

2k-1

2k+3

•

1

(2k-1)(2k+1)

即f(k+1)=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

∴当n=k+1时，（*）也成立---------------（13分）
综合①②所述，对?n∈N^*，f(n)=

1

(2n-1)(2n+1)

成立．-----（14分）