Question

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A，B，若圆内的动点P使，，成等比数列（O为坐标原点），则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．[-1，0）

Answer 1

【答案】分析：设P（x，y），则A（-1，0），B（1，0），=（-1-x，-y），=（1-x，y），•=（-1-x，-y）•（1-x，y）=x²+y²-1；由圆内的动点P使，，成等比数列可求得x²-y²=，从而得x²≥．又P在圆内，故x²+y²-1＜0，继而得到答案．
解答：解：设P（x，y），则A（-1，0），B（1，0），=（-1-x，-y），=（1-x，y），
∵，，成等比数列，
∴=•，
∴（x²+y²）²=[（-1-x）²+y²][（1-x）²+y²]
=（x²+y²+1）²-4x²，
∴x²-y²=，
∴y²=x²-，x²≥．
∴•=（-1-x，-y）•（1-x，y）=x²+y²-1=x²+（x²-）-1=2x²-≥2×-=-①
又P在圆内，故x²+y²-1＜0，即•＜0②
由①②得：-≤•＜0．
故选B．
点评：本题考查数列与解析几何的综合，着重考查等比数列的性质，向量的坐标运算，通过等比数列的性质与向量的坐标运算得到x²-y²=是关键，属于难题．