Question

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则

PA

•

PB

的取值范围为（　　）

• A、(0，

  1

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，0)
• C、(-

  1

  2

  ，0)
• D、[-1，0）

Answer 1

分析：先设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）分别表示出

PA

，

PB

，

PO

，根据把

PA

，

PB

代入|PA|•|PB|=PO²整理可得x²-y²=

1

2

可知点P的轨迹为双曲线，通过与圆的方程联立即可求得它们的交点，得x²=

3

4

，但P（x，y）在圆内，故对P，只能x²＜

3

4

，又根据x²-y²=

1

2

可知x²＞=

1

2

，进而可得的x²范围，设z=

PA

•

PB

=x²-1+y²，把x²-y²=

1

2

代入z，进而可得答案．

解答：解：设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
则

PA

=（-1-x，-y）

PB

=（1-x，-y）

PO

=（-x，-y）
设z=PA•PB=x²-1+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²
∴[（1+x）²+y²]•[（1-x）²+y²]=（x²+y²）²
整理得：x²-y²=

1

2

（2）
这是P点满足的条件 （其图形为一双曲线）
求它与圆的交点：
即，解方程组：
x²+y²=1．（3）
x²-y²=

1

2

（4）
得x²=

3

4

（5）
（但P（x，y）在圆内，故对P，只能x²＜

3

4

又由（2）知x²＞=

1

2

，
即

1

2

≤x²＜

3

4

（6）
由（2）还得：y²=x²-

1

2

代入（1），得
z=2x²-

3

2

（7）
由（（6），（7）知，z的取值范围为
为：[-

1

2

，0）
故选B

点评：本题主要考查了等比数列和平面向量的性质．要特别把握好平面向量的运算法则．